SAMPAIO JÚNIOR, Valter Borges. Ricci-bourguignon flows and warped products. 2018. 103 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2018.
Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2018
Resumo Portugues
Esta tese tem três propósitos principais. Primeiro, investigamos soluções do
fluxo de Ricci que preservam a estrutura de produto torcido. Neste caso, nós mostramos
que a fibra é uma variedade de Einstein e a equação do Fluxo de Ricci na variedade
produto é equivalente a um sistema de equações de evolução na base. Em seguida,
consideramos soluções do fluxo Ricci que preservam a estrutura do produto torcido e
são definidos para todo tempo negativo, as chamadas soluções anciãs. Nós provamos
a não-existência de tais soluções quando o produto torcido tem base compacta e a
constante de Einstein de sua fibra é não-positiva.
Em segundo lugar, estudamos quase solitons de Ricci em produtos torcidos.
Mostramos que um quase soliton de Ricci gradiente em um produto torcido, (Bn h
Fm; g; f; ), cuja função potencial f depende da fibra, ou é um sóliton de Ricci ou
não é constante e o produto torcido, a base, e a fibra são variedades de Einstein que
admitem campos de vetores conformes. Assumindo a completude, uma classificação é
fornecida para os quase solitons Ricci em produtos torcidos, cujas funções potenciais
dependem da fibra. Uma propriedade importante da função potencial é provada, mais
precisamente, sua decomposição em termos de funções que dependem ou da base ou
da fibra. No caso de um sóliton de Ricci completo, provamos que a função potencial
depende apenas da base.
O terceiro tema ocupa-se do fluxo de Ricci-Bourguignon em uma variedade compacta
de dimensão 3. Esta é uma família de equações de evolução a 1 parâmetro, ,
e nós mostramos que a importante estimativa de Hamilton-Ivey é verdadeira quando
esse parâmetro está no intervalo (1=2; 1=4). Como consequência dessa desigualdade,
mostramos que as soluções anciãs, em variedades tridimensionais compactas, possuem
curvatura seccional não negativa, quando sua curvatura escalar é uniformemente limitada
no tempo e 2 (1=2; 1=4).
Resumo Ingles
This thesis has three main purposes. First we investigate solutions of the Ricci
flow which preserve the warped product structure. In this case, we show that the
fiber is an Einstein manifold and the Ricci Flow equation on the product manifold
is equivalent to a system of evolution equations on the base. We then turn to the
solutions of the Ricci Flow that preserve the warped product structure and are defined
for all negative time, the so called ancient solutions. We prove the nonexistence of such
solutions if the base is compact and the Einstein constant of its fiber is non positive.
Secondly we study Ricci Almost Soliton on warped products. It is shown that a
gradient Ricci almost soliton on a warped product, (Bn h Fm; g; f; ) whose potential
function f depends on the fiber, is either a Ricci soliton or is not constant and the
warped product, the base and the fiber are Einstein manifolds, which admit conformal
vector fields. Assuming completeness, a classification is provided for the Ricci almost
solitons on warped products, whose potential functions depend on the fiber. An important
decomposition property of the potential function in terms of functions which
depend either on the base or on the fiber is proven. In the case of a complete Ricci
soliton, the potential function depends only on the base.
The third theme is concerned with the Ricci-Bourguignon Flow on a compact
3-dimensional manifold. This is a family of evolution equations on a parameter and
we show that the important Hamilton-Ivey estimate holds when lies in (1=2; 1=4).
As a consequence of this inequality, we show that ancient solutions on compact three
dimensional manifolds with scalar curvature uniformly bounded on time, has positive
sectional curvature, provided 2 (1=2; 1=4).
Unidade academica
Instituto de Ciências Exatas (IE)
Departamento
Departamento de Matemática (IE MAT)
Programa de Pos-Graduacao
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Agencia financiadora
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES); Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Fundação de Apoio à Pesquisa do Distrito Federal (FAP/DF).
Idioma
eng
Tipo de documento
Tese
Formato
application/pdf
Direitos de acesso
Acesso Aberto
Termo de licenca
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Palavras-chave
Fluxo de Ricci||Fluxo de Ricci-Bourguignon||Desigualdade de Hamilton-Ivey||Campos conformes
