Translation and homogeneous surfaces in homogeneous 3-spaces
Título alternativo
Superfícies de translação e homogêneas em 3-espaços homogêneos
Autor(a)
Ferreira, Tarcios Andrey
Orientador(a) Coorientador(a)
Santos, João Paulo dos
Data de aceite
2025-12-22
Data de disponibilizacao
2025-12-22
Data de publicacao
2025-12-22
Data de defesa submissao
2025-07-30
Citacao
FERREIRA, Tarcios Andrey. Translation and Homogeneous Surfaces in Homogeneous 3-Spaces. 2025. 117 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2025.
Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, Mestrado Profissionalizante em Matemática, 2025.
Resumo Portugues
Neste trabalho consideramos superfícies em espaços homogêneos tridimensionais, com
foco em superfícies de translação e superfícies extrinsecamente homogêneas.
Inicialmente, apresentamos uma classificação de superfícies mínimas, solitons de translação
e solitons conformes como superfícies de translação no espaço hiperbólico, considerando o
caso em que uma curva está contida em uma horosfera e a outra, em um plano hiperbólico
totalmente geodésico. Para esse cenário, demonstramos a rigidez das três classes, no sentido
de que as superfícies resultantes se reduzem a casos conhecidos na literatura, como planos
hiperbólicos e cilindros catenários no caso das superfícies mínimas. Para os solitons, além dos
planos e das horosferas, identificamos também os exemplos clássicos da literatura, como os
cilindros do tipo "grim reaper".
Para superfícies na esfera, investigamos as superfícies de translação quanto à curvatura
gaussiana e à curvatura média constantes. Nossos resultados demonstram que não existem
superfícies totalmente geodésicas e totalmente umbílicas que também sejam superfícies de
translação. Além disso, os resultados apontam para a rigidez dos toros de Clifford como
superfícies de translação mínimas e de curvatura média constante (CMC). Apresentamos ainda
uma relação útil e interessante entre superfícies de translação na esfera e o espaço Euclidiano
tridimensionais.
Outro tema abordado neste trabalho é o da homogeneidade em variedades, isto é, a existência de isometrias que levem qualquer ponto de uma variedade a outro ponto da mesma. Mais
especificamente, analisamos a classificação das hipersuperfícies extrinsecamente homogêneas
e suas folheações, as quais aparecem como órbitas de ações isométricas transitivas à esquerda
de subgrupos do grupo de isometrias das variedades em questão. Consideramos ainda as
classificações entre grupos unimodulares e não unimodulares, no contexto de grupos de Lie
tridimensionais. Tal classificação nos permite apresentar exemplos de superfícies totalmente
geodésicas e mínimas, além, é claro, de fornecer, como consequência da homogeneidade,
exemplos de superfícies de curvatura média constante (CMC).
Resumo Ingles
In this work we consider surfaces in 3-dimensional homogeneous spaces, focusing on
translation surfaces and extrinsically homogeneous surfaces.
We begin by classifying minimal surfaces, translating solitons, and conformal solitons that
arise as translation surfaces in hyperbolic space, focusing on the case where one generating
curve lies in a horosphere and the other in a totally geodesic hyperbolic plane. For this setting,
we prove rigidity results for all three classes, showing that the resulting surfaces reduce to
known cases in the literature, such as hyperbolic planes and catenary-type cylinders in the
minimal case. For the solitons, in addition to planes and horospheres, we recover classical
examples from the literature, such as Grim Reaper-type cylinders.
For surfaces in the sphere, we investigate translation surfaces with constant Gaussian
curvature and constant mean curvature (CMC). Our results show that there are no totally
geodesic or totally umbilical surfaces that are also translation surfaces. Furthermore, the results
point to the rigidity of Clifford tori as minimal and CMC translation surfaces in the sphere. We
also present an interesting and useful relationship between translation surfaces in the sphere
and in three-dimensional Euclidean space.
Another topic addressed in this work is that of homogeneity in manifolds, that is, the existence of isometries that map any point of a manifold to any other. More specifically, we analyze
the classification of extrinsically homogeneous hypersurfaces and their foliations, which arise
as orbits of left-transitive isometric actions by subgroups of the isometry group of the ambient
manifold. We also consider the distinction between unimodular and non-unimodular groups in
the context of three-dimensional Lie groups. This classification allows us to present examples
of totally geodesic and minimal surfaces, and, as a consequence of homogeneity, examples of
constant mean curvature (CMC) surfaces.
Unidade academica
Instituto de Ciências Exatas (IE)
Departamento
Departamento de Matemática (IE MAT)
Programa de Pos-Graduacao
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Agencia financiadora
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).
Idioma
por
Tipo de documento
Tese
Formato
application/pdf
Direitos de acesso
Acesso Aberto
Termo de licenca
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Palavras-chave
Superfícies mínimas||Translação||Solitons conformes||Fluxo da curvatura média||Curvatura média constante||Superfícies de translação||Espaço hiperbólico||Esferas tridimensionais||Superfícies homogêneas||Grupos de Lie||Espaços homogêneos||Ação isométrica||Ação de cohomogeneidade um||Curvaturas principais constantes
